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Transformaciones birracionales -- Grupo de Cremona

Sub-línea de trabajo de la línea principal "Geometría algebraica proyectiva". Participan investigadores de Uruguay (CMAT), Brasil, Suiza.

Investigadores

 

Iván Pan (CMAT), Alvaro Rittatore

 

Descripción de la línea de trabajo

 

La geometría algebraica de las variedades proyectivas es una sub-área de la Geometría Algebraica cuyos orígenes remontan a mediados del siglo XIX, a los trabajos de la llamada escuela italiana de geómetras, cuya creación es atribuida a Luigi Cremona (1830-1903) y que estuvo inspirada en gran parte en las ideas de Riemann sobre el concepto de variedad y los recubrimiento finitos de curvas algebraicas complejas. La escuela italiana tuvo una importante actuación en la escena matemática durante 100 años (Cremona, Cayley, Bertini, M. N\oe ther, Veronese, Segre, Castelnouovo, Fano, Severi, Enriques, Terraccini, son algunos de los nombres más importantes); en la primera mitad del siglo XX, gracias al esfuerzo de grandes matemáticos como Hilbert, E.N\oe ther, (principalmente) Zariski y Weil, entre otros, la investigación en geometría proyectiva llevada a cabo por la escuela italiana junto con los avances del álgebra conmutativa, proporcionaron bases sólidas para resolver problemas de geometría clásica con herramientas algebraicas,  dando origen a la geometría algebraica moderna.

Por otro lado, en los años 60, la geometría algebraica sufrió una profunda sistematización y generalización, motivada por la escuela de O. Zariski y llevada a cabo principalmente a partir de las ideas de A. Grothendieck y con importante colaboración de J.P. Serre, consolidándose como un área independiente y, al mismo tiempo, de integración entre la geometría, el álgebra conmutativa y la teoría de números.

En la década de los 80 (siglo XX), sobre las nuevas bases de la geometría algebraica, se introduce un nuevo concepto de Modelo Minimal para variedades proyectivas, que surge de los trabajos de Mori, Kolar, Kawamata y Reid, entre otros. Mori indica un programa para la clasificación birracional de variedades; él demuestra que el programa funciona para variedades lisas de dimensión 3, lo que le valió la medalla Fields (Mor). Desde entonces, el estudio de la geometría birracional se ha transformado en uno de los grandes tópicos de la geometría algebraica. Las variedades tóricas entran de manera preponderante dentro de la teoría, por un lado, como los ejemplos ``más manejables'' de que disponemos para verificarla e inspirar modelos generales, por otro lado, porque éstas constituyen la clase de modelos de variedades, que presentan la geometría más interesante del punto de vista birracional ya que el grupo de sus automorfismos (birracionales) es el de mayor complejidad; éste es, precisamente, isomorfo al grupo de transformaciones de Cremona de un espacio proyectivo.
Un problema central en la teoría de Mori es la de clasificar a menos de aplicaciones birracionales, los llamadas  ``fibraciones de
Mori'' que, junto con los modelos minimales, constituyen los únicos dos tipos de objetos que se obtienen al final del proceso, con miras a clasificar una determinada variedad proyectiva. En esta dirección, el Programa de Sarkisov (Co, Ri1) establece que una tal transformación se puede descomponer como producto de un número finito de transformaciones de cuatro tipos particulares, llamados ``links'' de Sarkisov. 

Unas de las líneas específicas de  trabajo del grupo  se concentra en el estudio de las transformaciones de Cremona del espacio proyectivo, la estructura del grupo que éstas constituyen y sus aplicaciones al estudio de la dinámica compleja, tanto discreta como continua; en este abordaje, resulta crucial obtener información a cerca de la descomposición de una tal transformación vía el programa de Sarkisov, ya que ésta decodifica la modificación producida en el espacio proyectivo por la transformación.
Por otro lado, debido al hecho que el grupo de Cremona (o sea, el de las transformaciones de Cremona) es un límite inductivo de variedades con dimensiones no acotadas, parece improbable obtener una descripción exhaustiva, sea del tipo de transformaciones, sea de la estructura del grupo, en  el caso de dimensión $>2$; el suceso en el tratamiento del caso de dimensión 2, reposa sobre el hecho que es suficiente considerar modificaciones (\emph{blow-ups}) de puntos para
resolver una transformación en este caso, lo que permite en particular de trabajar en el contexto de las superficies (proyectivas) racionales lisas, mientras que en el caso de dimensión superior hay que considerad modificaciones de variedades de dimensión positiva, y la teoría de contracciones se trona ``salvaje'', con la aparición de los flips, etc. Una consecuencia bastante desalentadora en esta dirección fue observada por I. Pan  en Pa99, donde se muestra que cualquier generador del grupo de Cremona para dimensión $>2$ hace intervenir, además de los automorfismos del espacio, una cantidad no numerable de transformaciones no triviales (!` en dimensión 2 basta con una  única !).  

Planteamos aquí algunos temas donde aparecen numerosas preguntas abiertas:

  • la clasificación de transformaciones de Cremona del espacio  proyectivo tridimensional complejo (el caso bidimensional es  considerado conocido desde este punto de vista) de grado pequeño;
  • clases de conjugación de los subgrupos del grupo de Cremona  del Plano que estabilizan una curva;
  • estudio transformaciones del espacio proyectivo de dimensión arbitraria que tienen la propiedad de estabilizar el haz de rectas, del espacio proyectivo, que pasan por un punto.
  • construcción de (familias interesantes de) transformaciones de Cremona en dimensión $>3$.
  • estudio birracional de foliaciones del espacio proyectivo.


Desde 2003 se ha trabajado en  colaboración con  Gerardo González-Sprinberg del Instituto Fourier (Francia), colaboración que comenzó en el marco de la cooperación Franco-Brasileña y estuvo centrada en el estudio de geometría tórica y las transformaciones de Cremona (GSP1, GSP2); en este ámbito fue orientado un alumno ( en co-tutela) que se doctoró en agosto de 2009 y se estableció la colaboración científica con Dan Avritzer, de la Universidad Federal de Minas Gerais, de Brasil (AGSP).  

Desde 2007 se trabaja en colaboración con Thierry Vust y Jérémy Blanc, de la Universidad de Ginebra (Suiza) BPV1, BPV2. La colaboración está  centrada en el estudio de la estructura del grupo de Cremona en dimensión 2, donde, juntando un  trabajo de Blanc y Pa07 se proporciona una clasificación esencialmente completa de los subgrupos de Cremona que estabilizan una curva. 

Desde 2007, estamos  estudiando  los Programas del Modelo Minimal de Mori y de Sarkisov, para obtener información sobre la estructura de transformaciones de Cremona en dimensión 3 o superior. Introduciendo el largo de la transformación como siendo el número mínimo de transformaciones elementales en que se descompone la misma, comienzan a aparecer los primeros resultados interesantes: muchas de las transformaciones clásicas (i.e. estudiadas por los geómetras del pasado) resultan ser las descomposiciones minimales, lo que sugiere que tales transformaciones son esenciales en lo que respecta a la generación del grupo de Cremona (Pa09, Pa09).   

Recientemente, motivados por los trabajos HaSi, \cite{Pa-estelar}, Pan y A. Simis han comenzado una colaboración
centrada en el estudio del subgrupo de las transformaciones de Cremona de un espacio proyectivo de dimensión arbitraria, que  tienen la propiedad de estabilizar el haz de rectas del espacio proyectivo, que pasan por un punto.   Interesa describir la estructura de dicho subgrupo, proporcionando una familia de generadores interesante  y caracterizar en términos algebraicos el comportamiento de tales generadores. 

Desde 2009, motivados por la realización de recubrimientos de curvas elípticas dentro de superficies racionales regladas, se estableció un plan de trabajo con Armando Treibich (t2, t4) para estudiar las transformaciones de Cremona del plano originadas vía dos parametrizaciones diferentes de una misma superficie reglada, lo que debería proporcionar nueva información del llamado grupo de descomposición de la curva recubrimiento en una tal superficie (Pa07).
 
Por otra parte, I. Pan y A. Rittatore se interesan en la descripción de la topología del grupo de Cremona. Es sabido que no se puede dotar al Grupo de Cremona con una estructura de variedad algebraica razonable. Demazure en dem propuso una topología para el grupo, basada en la  idea que ciertas familias de transformaciones birracionales deben ser continuas. Esta topología resultó ser adecuada para el estudio de la estructura del grupo de Cremona, pero es muy difícil de manejar: las técnicas usadas resultan muy sofisticadas (ver por ejemplo Bla11; BlDe; BlFu; Ca11; CaLa; DiFa; FWa; Se. Sin embargo, con esta topología  \emph{de Zariski}, el grupo posee numerosas propiedades muy similares a las presentes en un grupo algebraico. Pan y Rittatore han trabajado en la presentación de resultados relativamente recientes de un modo unificado, probándolos haciendo un fuerte uso de la similitud descrita, proponiéndose continuar dicha descripción.

Paralelamente a las líneas de trabajo mencionadas, A.Rittatore ha trabajado en colaboración con A. Dickenstein en problemas de geometría algebraica proyectiva en el caso tórico. Más precisamente, se estudió el problema de la caracterización de las variedades tóricas proyectivas autoduales, habiéndose establecidos criterios combinatorios para que una variedad tórica proyectiva sea autodual. Esta colaboración dio origen a una tesis de maestría, así como un trabajo publicado ([BDR11]). Este tratamiento combinatorio complementa al realizado en  [CDS01],  [CC05], [DS02], [DFS05], [DR03] y [DRC05], en donde se  tratan varias de las técnicas que se debieron desarrollar en el trabajo. El estudio en profundidades de las
variedades proyectivas  autoduales  fue realizado por Ein en sus trabajos [Ein85] y [Ein86]. Posteriormente, Popov y Tevelev en [Pop02], [PT04] y [Tev05] realizaron un interesante trabajo relacionando la teoría de invariantes con este problema, al estudiar la autodualidad de diferentes completaciones de espacios homogéneos. Sin embargo, su trabajo dejó de lado las
variedades tóricas.

Una línea interesante de continuación es la generalización de los trabajos mencionados al caso de las variedades esféricas proyectivas, o al menos a las llamadas inmersiones magníficas de un grupo algebraico reductivo, en donde la combinatoria
asociada es muy similar a la del caso tórico. 

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