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Teoría de invariantes relativos

Sub-línea de trabajo de la línea de investigación "Grupos algebraicos de transformaciones". Involucra investigadores de Uuguay (CMAT).

Investigadores

 

Alvaro Rittatore, Walter Ferrer (CMAT).

 

Descripción de la línea de trabajo

 

La teoría de invariantes puede verse como una generalización y extensión --de muy largo alcance-- de los problemas de ``reducción a una forma canónica'' o forma normal de objetos del álgebra lineal, o lo que es esencialmente lo mismo, de la geometría proyectiva (pv94). Su desarrollo comenzó hace 150 años, teniendo en los últimos cincuenta años un periodo de crecimiento sostenido, debido a la profunda interacción entre la teoría de grupos algebraicos y el álgebra conmutativa en particular, o de la geometría algebraica post-Grothendieck en general. La construcción de invariantes es requerida siempre que se intenta clasificar objetos matemáticos de algún tipo, por lo que no es exagerado decir que el estudio de invariantes está presente de un modo u otro en toda la matemática. Actualmente, la teoría algebraica de invariantes es considerada como una sub-área de la teoría de grupos algebraicos de transformaciones, siendo identificada con esta teoría en un sentido amplio. 

El estudio de esta plataforma geométrica de la teoría de invariantes fue desarrollado recientemente por D. Mumford pero sus orígenes se remontan a D. Hilbert. La referencia básica es el libro ya clásico Geometric Invariant Theory de Mumford, ver [Mum65]. La teoría de invariantes “à la Mumford” consiste en el estudio de la interacción entre las propiedades estructurales básicas de los tres siguientes entornos matemáticos: i) la geometría de las acciones de un grupo algebraico afín K en una variedad algebraica, ii) la categoría $\Mod K$ de los $K$-módulos racionales y iii) la estructura interna del grupo algebraico $K$ o eventualmente de su álgebra de Lie. 

Así, se ha probado la equivalencia de las tres siguientes propiedades del grupo algebraico afín $K$: i) Para toda variedad algebraica afín $X$ y toda acción de $K$ en $X$ la variedad cociente existe y es afín, ii) la categoría $\Mod K$ es semi-simple, iii) el radical unipotente de $K$ es trivial; ver [Mum65], [FR05], [New78], [Spr77] para tener una formulación precisa y demostraciones de los resultados mencionados.

Si bien la teoría desarrollada por Mumford ha resultado extremadamente exitosa y útil en el grado de generalidad con que fue originalmente concebida, tiene el problema de no ser muy sensible a las propiedades particulares de una acción específica. Uno de los objetivos de este proyecto es el desarrollo de una teoría general de invariantes relativa, que toma en cuenta y explica el hecho de que en muchas situaciones las propiedades geométricas de una acción de un grupo algebraico particular, no necesariamente reductivo, en una variedad dada $X$, se reflejan de forma clara en la categoría $\Mod (K,X)$ de los $(K,X)$-módulos (ver [Fer89]). Nos interesan entonces, acciones de grupos lineales cualesquiera (no necesariamente reductivos),  en una variedad $X$ fija, tales que exhiben un comportamiento que produce una equivalencia semejante a la establecida entre las propiedades i) y ii) mencionadas más arriba.

 El teorema siguiente, de autoría de E. Cline, B. Parshall y L. Scott y que apareció en [CPS77], ilumina con claridad esta perspectiva relativa de la teoría:

 Sea $G$ un grupo algebraico afín y $K\subset G$ un subgrupo cerrado. Entonces, el espacio homogéneo $G/K$ es una variedad afín si y sólo si la categoría $\Mod (K,G)$ es semi-simple.

 Nos proponemos entonces considerar pares $(K,X)$, donde $K$ es un grupo algebraico afín que actúa regularmente en una variedad afín $X$. Nuestra intención es trabajar “à la Mumford” y tomar como punto básico de partida las propiedades de escisión de los objetos en la categoría $\Mod (K,X)$.

 En teorel, Ferrer y Rittatore consideran la  ``reductividad lineal de las acciones'' de $K$  en la variedad afín $X$,  estudiando  la interacción de las propiedades de escisión en  $\Mod (K,X)$ con las propiedades geométricas de la acción de $ K$ en $ X$. En el trabajo mencionado, caracterizaron las así llamadas acciones linealmente reductivas, probando propiedades de existencia de buenos cocientes.

 Otro aspecto interesante a considerar es generalización de la interacción entre las propiedades relacionadas con la unipotencia del grupo (que pueden ser formuladas como propiedades del functor punto fijo en la categoría $\Mod K$) y las propiedades de clausura de las órbitas de $K$ en una variedad arbitraria.  El principal ejemplo de esta interacción es el teorema de Kostant-Rosenlicht que garantiza que las órbitas de un grupo unipotente actuando sobre una variedad afín son siempre cerradas (ver [Ros61] por la prueba original o [Bor91], [FR05] por otra versión). En teorel se considera también una versión relativa del concepto de unipotencia, donde se trabaja con una acción particular del grupo lineal $K$ en una variedad afín $X$,  definiendo el concepto de acción unipotente en términos del functor punto fijo en la categoría $\Mod(K,X)$.

 Dada una $K$-variedad algebraica afín $X$, un $(K,X)$-módulo asociado naturalmente es el álgebra $D(X)$ de los operadores diferenciales algebraicos sobre $X$. El estudio de las propiedades de esta álgebra ya sea como $(K,X)$-módulo o como anillo es de interés, sobre todo cuando $ X$ es una variedad esférica, es decir cuando $X$ es normal, $K$ reductivo y X posee una órbita abierta para un subgrupo resoluble de $K$. Por ejemplo, F. Knop mostró en [Kno95] que el álgebra $D(X)K$ de los operadores diferenciales invariantes por $K$ es un anillo de polinomios. Así, resulta interesante la descripción $K$-módulo $D(X)$ a fin de comprender mejor su estructura de anillo. En cuanto álgebra, $D(X)$ está bien descrita en el caso de las variedades tóricas (por ejemplo, en [Jon94] se describen generadores). Nos proponemos generalizar los resultados del caso tórico al caso esférico, respondiendo a preguntas como ser: ¿es el álgebra $D(X)$ simple?, ¿n\oe theriana?, ¿de tipo finito? 

Un caso particular interesante es cuando se considera el cono $C(X)$ sobre una variedad proyectiva $X$, donde sería interesante recuperar el grupo de automorfismos de $X$ a partir de $D(C(X))$, o al menos describir $D(X)$ en función de algunos invariantes de $D(C(X))$. Estudiaremos estos problemas aplicando las técnicas de Mumford generalizadas a la categoría $\Mod (K,X)$.

Los resultados iniciales de la teoría de invariantes relativa fueron esbozados en [Fer88], f y, más recientemente, en teorel. En esta nueva etapa del programa nos enfocaremos en la llamada álgebra homológica relativa. Este aspecto de la teoría se refiere en su versión más general, al contexto en que hay una categoría $C$ y un functor de olvido $U:C \rightarrow A$ y se trata de estudiar las propiedades homológicas de $C$ donde se toman sucesiones exactas que escinden cuando pensadas en $A$ (llevadas por el functor $U$). Esta teoría fue desarrollada inicialmente para el caso de representaciones de un grupo abstracto $G$ que escinden como $K$--módulos donde $K$ es un subgrupo de $G$. En el caso particular en que $K$ es un subgrupo normal y se considera la homología relativa de $G$ con respecto a $K$, obtenemos la homología del cociente $G/K$. 

 Es esperable, que este tipo de resultados se pueda obtener también en el contexto de la teoría de invariantes relativa. Se espera que si se toma como categoría $C$ la de los $(K,k[X])$--módulos racionales y como categoría $A$ la de los $K$--módulos racionales y el functor de olvido evidente, se puedan caracterizar en términos del álgebra homológica relativa los conceptos de reductividad lineal y geométrica que se desarrollan en el trabajo mencionado arriba.

 De ser esto posible, tendríamos a nuestra disposición todas las herramientas teóricas del álgebra homológica relativa que pensamos pueden enriquecer nuestra perspectiva sobre este tema. Estas herramientas son por ejemplo, la teoría de sucesiones espectrales --aplicadas a la cohomología racional-- y otras. Otro aspecto algebraico a explorar, en una dirección diferente pero con puntos en común con lo anteriormente mencionado, es  el estudio de la linearización de los problemas mencionados, en particular la transformación de las acciones en acciones lineales de las correspondientes álgebras de Lie de los grupos. En ese contexto se puede también pensar en el uso de métodos relativos.

 

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Bibliografía


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