Secciones

Monoides algebraicos

Investigadores

 

Alvaro Rittatore, Michel Brion (asociado), Lex Renner (Asociado)

 

Descripción de la línea de trabajo

 

La teoría de monoides algebraicos se desarrolló a partir de los trabajos de M. Putcha y L. Renner ([Put80], [Put80a], [Put81], [Put88], [Ren82], [Ren85], [Ren86], [Ren89], [Ren95], [PPR97], [B-F04] — ver [Put80],

[Ren04] para una bibliografía extensa); estos autores estudiaron sistemáticamente los monoides algebraicos afines, basándose en la descripción de sus sistemas de idempotentes. 

 

Un monoide algebraico es una variedad algebraica (irreducible) $M$ munida de un producto asociativo $m:M \times M\to M$, que es un morfismo de variedades algebraicas, y un elemento neutro $1\in M$. Se puede probar que el grupo $G(M)$ de elementos invertibles en $M$ es un grupo algebraico, abierto en $M$. De este modo, los monoides algebraicos son inmersiones de su grupo de invertibles, en el sentido de la teoría de Luna y Vust (\cite{r-2}, rtes). Esta observación básica sugiere una aproximación al estudio de la relación de la

geometría de la variedad subyacente al monoide y la estructura algebraica (el producto) mediante las herramientas de la teoría de invariantes (en este caso, el estudio de la acción del grupo de invertibles en el monoide). Este enfoque ha demostrado su utilidad: a modo de ejemplo, se ha probado que un monoide algebraico cuyo grupo de invertibles es afín es necesariamente una variedad algebraica afín (r). 

 

Un caso particularmente interesante es el caso de los monoides algebraicos reductivos, es decir aquéllos cuyo grupo de invertibles es un grupo lineal reductivo. Siendo inmersiones afines de un grupo reductivo, los monoides reductivos son variedades esféricas, y como tales pueden ser clasificados por medio de un diccionario geométrico-combinatorio, en términos de conos coloreados (\cite{r-2}, [Ri8]); para la teoría general de las variedades esféricas, ver por ejemplo [Bri97], [LV83], [DCP83], [BLV86], [Vus90], [Kno91])). Esta clasificación permite además, como en el caso de las variedades tóricas, ¨leer¨ propiedades geométricas de los mismos en los objetos

combinatorios asociados ([Rit01], [Rit02]. Asimismo, en el caso reductivo es posible determinar las representaciones simples de un monoide algebraico reductivo a partir de sus datos combinatorios en tanto variedad esférica ([Dot99], [Ren04]). En [FR05] se aplican las técnicas desarrolladas al cálculo del operador de Reynolds de un grupo reductivo, generalizando de este modo los métodos utilizados por Hilbert para la prueba de la generación finita de invariantes de $\operatorname{GL}_n(k)$, problema sumamente interesante para la

teoría computacional de invariantes, ver [DK02].

 

Los monoides algebraicos reductivos han tenido aplicaciones a otros campos de la matemática, destacándose en particular los trabajos de Brion y colaboradores (bral2; bral; bt06), en donde se utilizan los resultados de Rittatore acerca del semigrupo universal de Vinberg (ver veryf, vin94; vin95). Recientemente V. Drinfeld planteó la (a nuestro entender interesante) pregunta de cómo realizar explícitamente el semigrupo universal de Vinberg. Pretendemos responder a esa pregunta en conjunto con M. Brion.

 

 

Por otra parte, M. Brion y A. Rittatore han iniciado el estudio de la geometría de los monoides algebraicos arbitrarios, es decir no necesariamente afines, a partir de la generalización del teorema de estructura de Chevalley para grupos algebraicos  ([Che60], ver también [Con02]) al caso de los monoides algebraicos (ver [BR07], [Bri07], [Bri08b]). En [Bri08a-d] pueden encontrarse algunas de la líneas de trabajo desarrolladas a partir de los resultados encontrados. 

 

En vista de los trabajos presentados, parece natural por un lado desarrollar una teoría de esquemas en monoides y su teoría de representaciones.  Si bien la noción de esquema en monoides es bastante evidente, la misma conduce a fenómenos nuevos: por ejemplo, dichos esquemas no son siempre reducidos, aún en el caso de trabajar sobre un cuerpo de característica cero. En br14 Brion ha planteado los primeros resultados de la teoría. Por otro lado, el desarrollo de una teoría de representaciones implica profundizar en estos aspectos, dado que los monoides considerados no son afines (o de un modo equivalente, lineales).

 

Para estos desarrollos un punto de partida está dado por un resultado de [BR07]: todo monoide normal admite una representación fiel en los endomorfismos de un fibrado vectorial homogéneo sobre una variedad

abeliana (un fibrado vectorial se dice homogéneo si es isomorfo a todo sus trasladados). Este resultado lleva a nuevos puntos de vista y a pregunta de naturaleza fundamental, sobre la estructura y las representaciones de grupos y monoides algebraicos no necesariamente afines. 

 

En este esquema de trabajo a largo plazo, los fibrados vectoriales sobre una variedad abeliana van a jugar un rol importante. Estos fibrados están bastante bien comprendidos, gracias a los trabajos de la escuela japonesa, y en particular de Mukai, que están en el origen de la llamada transformada de Fourier-Mukai (ver por ejemplo [Miy73], [Muk78],  [Muk81], [Oda71a-b]). En una primera etapa de este programa Rittatore, en conjunto con L. Brambila-Paz, ha estudiado la relación entre la estructura geométrica y algebraica del fibrado homogéneo y la geometría de su monoide de endomorfismos (ver end). Como una continuación natural, se establecerán las primeras propiedades de la categoría de los fibrado homogéneos sobre una variedades abeliana $A$, actuados por grupos algebraicos provenientes de la extensión de $A$ por un grupo algebraico afín.

 

Bibliografía

 


Enlaces externos

Acciones de Documento
« Julio 2021 »
Julio
LuMaMiJuViDo
1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031
Entrar


¿Ha olvidado su contraseña?