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Cronograma 2012

Aquí iremos registrando lo que vayamos viendo en cada clase.

Primera clase, lunes 13 de agosto. Descripción del curso, bibliografía, método de aprobación.
El espacio vectorial R^k. Segmentos y conjuntos convexos. El producto escalar y la norma euclidiana. Identidad de polarización, desigualdad de Cauchy-Schwarz. Propiedades de la norma euclidiana. 

Segunda clase, miércoles 15 de agosto. Repaso. El producto escalar y el espacio dual de R^k. Conjuntos ortonormales. La base canónica es una base ortonormal. Ejemplos de conjuntos convexos: hiperplanos y semiespacios. Noción general de norma. Ejemplos de normas en R^k, C([a,b]) y L(R^k,R^m). Bolas abiertas, bolas cerradas, bolas reducidas, esferas, ejemplos.

Tercera clase, viernes 17 de agosto. Repaso y complementos: base de las funciones coordenadas, normas y normas inducidas por un producto interno, ejemplos varios, bolas. Interior, frontera y exterior de un conjunto. Conjuntos abiertos. El conjunto vacío y todo el espacio son conjuntos abiertos. Las bolas abiertas son conjuntos abiertos. La unión arbitraria y la intersección finita de abiertos son conjuntos abiertos. Topología en R^k. Conjuntos cerrados. La intersección arbitraria y la unión finita de cerrados son conjuntos cerrados. Sucesiones. Sucesiones convergentes.

Cuarta clase, lunes 20 de agosto. Repaso y complementos: puntos interiores, puntos frontera, puntos exteriores, abiertos, cerrados, conjuntos acotados, sucesiones convergentes. Puntos de acumulación y puntos aislados de un conjunto. Clausura de un conjunto. Caracterización de la clausura vía sucesiones.

Quinta clase, miércoles 22 de agosto.

Sucesiones de Cauchy. Las sucesiones convergentes son de Cauchy, y las sucesiones de Cauchy son acotadas. Subsucesiones. Toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente. Toda sucesión de Cauchy es convergente. Completitud.

Sexta clase, viernes 24 de agosto.

Repaso. Completitud. Cubrimientos abiertos. Subcubrimientos. Conjuntos compactos.  Equivalencias: (a) K es compacto (b) K es cerrado y acotado (c) toda sucesión en K tiene una subsucesión convergente a un punto de K (d) K es cerrado, y para cada r>0 se puede cubrir por una cantidad finita de bolas de radio r centradas en puntos de K.

Séptima clase, lunes 27 de agosto.

Repaso y conclusión de la demostración de las equivalencias (a)-(d).

Octava clase, miércoles 29 de agosto.

Disgresión acerca de las equivalencias (a), (c) y (d) en espacios de Banach arbitrarios, y un ejemplo de que en general no son equivalentes a (b).

Novena clase, viernes 31 de agosto.

Sucesiones encajadas de conjuntos compactos. Teorema de Cantor.  Límites de funciones.             

Décima clase, lunes 3 de setiembre.

Límites en términos de sucesiones. Funciones continuas. Caracterización de la continuidad a través de sucesiones. Continuidad de la función compuesta.

Décima primera clase, miércoles 5 de setiembre.

Repaso. Álgebra de límites. Continuidad en cada variable y continuidad conjunta. Continuidad en conjuntos; caracterización en términos de preimágenes de cerrados o de abiertos. Las funciones continuas transforman conjuntos compactos en conjuntos compactos. Teorema de Weierstrass.

Décima segunda clase, viernes 7 de setiembre.

Transformaciones lineales entre espacios normados de dimensión finita. Todas las normas en R^k. Espacios normados de dimensión finita.

Décima tercera clase, lunes 10 de setiembre.

Funciones uniformemente continuas. Funciones continuas en conjuntos compactos. Conjuntos conexos por caminos. Los conjuntos convexos son conexos por caminos. Los subconjuntos conexos por caminos de la recta son los intervalos. La conexión por caminos se preserva por funciones continuas. Ejemplo: GL_2(R) no es conexo por caminos.
Décima cuarta clase, miércoles 12 de setiembre.

La relación de que dos puntos de un conjunto estén conectados por un camino es una relación de equivalencia. El conjunto es conexo por caminos precisamente cuando esta relación tiene una única clase de equivalencia. Abiertos conexos. Una versión general del teorema de Bolzano. Si K es compacto y conexo por caminos, su imagen por una funcion real continua es un intervalo cerrado y acotado. Funciones diferenciables en un punto. Una función real es diferenciable en un punto sii es derivable en dicho punto.
Décima quinta clase, viernes 14 de setiembre.

Derivadas con respecto a un vector, derivadas direccionales. Diferencial de una función; unicidad de la diferencial. Ejemplos. Coordenadas: derivadas parciales, matriz jacobiana, gradiente.

Décima sexta clase, lunes 17 de setiembre.

Repaso y ejemplos adicionales. Resultados básicos: la diferenciabilidad implica la continuidad; regla de la cadena. Ejemplos.

Décima séptima clase, miércoles 19 de setiembre.

Suspendida por mal tiempo: ciclón extratropical. Sólo se hizo algún ejercicio del práctico con vistas al parcial en ciernes.

Décima octava clase, viernes 21 de setiembre.

Primer parcial.

Décima novena clase, lunes 24 de setiembre.

Ejemplos de uso de la regla de la cadena. Lema: una versión del teorema del valor medio para campos escalares. Corolario: si todas las derivadas direccionales de un campo escalar definido en un abierto conexo son nulas, entonces el campo es constante.
Vigésima clase, miércoles 26 de setiembre.

Teorema del valor medio para campos vectoriales: si todas las derivadas direccionales de un campo vectorial existen en todos los puntos de un abierto convexo A, y están acotadas en A, entonces el campo es de Lipschitz. Corolario: un campo vectorial cuyas derivadas direccionales existen y son nulas en cada punto de un abierto conexo A, debe ser constante. Funciones de clase C^1.

Vigésima primera clase, viernes 28 de setiembre.

Repaso. Un campo de clase C^1 es localmente Lipschitziano. Espacio tangente al gráfico de un campo escalar diferenciable. Un campo escalar diferenciable tiene sus mayores variaciones en la dirección del gradiente.   Conjuntos de nivel. Espacios tangentes a conjuntos de nivel. El gradiente es perpendicular a los conjuntos de nivel.

Vigésima segunda clase, lunes 1 de octubre.

Ecuaciones en derivadas parciales lineales de primer orden. Una condiciçón suficiente de diferenciablidad: si en un punto a todas las derivadas parciales de f existen, y al menos todas menos una son continuas en un entorno de a, entonces la función es diferenciable en el punto.

Vigésima tercera clase, miércoles 3 de octubre.

Diferenciales parciales. Sea f:A\subseteq E=E_1 x E_2 --> R^m; si a es un punto interior de A, y f es diferenciable en a, entonces f es diferenciable con respecto a E_1 y a E_2 en a, y se tiene $D_if(a)=Df(a)\mu_i, donde \mu_i:E_i\to E es la inclusi[on natural; recíprocamente, si existen D_1f(a) y D_2f(a), y D_1f o D_2f existe y es continua en un entorno de a, entonces f es diferenciable en a, y Df(a)=D_1f(a)\pi_1+D_2f(a)\pi_2, donde \pi_i:E\to E_i es la proyección canónica.
Vigésima cuarta clase, viernes 5 de octubre.

Generalización de lo visto en la clase anterior cuando E=E_1 x E_2 x ... x E_n. Corolario: si todas las derivadas parciales de f:A\subseteq R^k-->R existen en un punto a, y al menos (k-1) de ellas existen y son continuas en un entorno de a, entonces f es diferenciable en a.
Vigésima sexta clase, lunes 8 de octubre.

Derivadas de orden superior. Funciones de clase C^k. Integrales dependientes de un parámetro. Regla de Leibniz. Teorema de Schwarz (primera versión).
Vigésima séptima clase, miércoles 10 de octubre.

Teorema de Schwarz (segunda versión).  Simetría del segundo diferencial.

Vigésima octava clase, viernes 12 de octubre.

Repaso: si f es dos veces diferenciable en un punto, su diferencial segundo es simétrico; un ejemplo en el que las derivadas mixtas difieren. Matriz Hessiana. Diferenciales de orden mayor que uno. Fórmula de Taylor para campos escalares. 

Vigésima novena clase, lunes 15 de octubre.

Feriado

Trigésima clase, miércoles 17 de octubre.

Expresión de Lagrange para el resto en la fórmula de Taylor. Comentarios sobre las series de Tatylor y las funciones analíticas.

Trigésima primera clase, viernes 19 de octubre.

Extremos locales. Puntos críticos; puntos de silla. Si f tiene un extremo local en un punto en el que es diferenciable, dicho punto es crítico. Formas cuadráticas. Clasificación de formas cuadráticas. Clasificación de puntos críticos no degenerados. 

Trigésima segunda clase, lunes 22 de octubre.

Ejemplos. Si una función f tiene un mínimo (máximo) local en un punto en el que es dos veces diferenciable, entonces su segunda diferencial es semidefinida positiva (negativa). 

Trigésima tercera clase, miércoles 24 de octubre.

Funciones convexas. Caracterizaciones en términos de su diferencial primera y de su diferencial segunda. Si una función diferenciable y convexa tiene un punto crítico, entonces en ese punto la función tiene su mínimo absoluto.  
Trigésima cuarta clase, viernes 26 de octubre.

El teorema de la función inversa: resultados preparatorios.

Trigésima quinta clase, lunes 29 de octubre.
El teorema de la función inversa.

Trigésima sexta clase, miércoles 31 de octubre.
El teorema de la función implícita; ejemplos. Variedades inmersas.

Trigésima séptima clase, viernes 2 de noviembre.

Feriado.

Trigésima octava clase, lunes 5 de noviembre.

Vectores tangentes y vectores normales a una variedad inmersa. Método de los multiplicadores de Lagrange.

Trigésima novena clase, miércoles 7 de noviembre.

Integración.

Particiones, refinamientos, bloques. Sumas inferiores y sumas superiores.
Integral superior e integral superior. Funciones integrables en bloques según Riemann.

Cuadragésima clase, viernes 9 de noviembre.

Las funciones continuas son integrables Riemann.  Las funciones integrables Riemann forman un espacio vectorial, y la integral es una forma lineal. Teorema del valor medio.

Cuadragésima primera clase, lunes 12 de noviembre.

Integrales iteradas. Teorema de Fubini. Ejemplos. Integrales en dominios contenidos en bloques compactos.

Cuadragésima segunda clase, miércoles 14 de noviembre.

Cambios de variables. Coordenadas polares, esféricas, cilíndricas.
Ejemplos varios de cálculo de integrales.

Cuadragésima tercera clase, viernes 16 de noviembre.

Segundo parcial

Cuadragésima cuarta clase, lunes 19 de noviembre.

Conjuntos de medida nula. Conjuntos de contenido nulo. Una unión numerable de conjuntos de medida nula es de medida nula. Un intervalo no trivial no tiene contenido nulo. Un conjunto compacto es de medida nula si y sólo si es de contenido nulo.
El gráfico de una función continua definida en un bloque compacto tiene contenido nulo.

Cuadragésima quinta clase, miércoles 21 de noviembre.

Teorema de Lebesgue: una función definida en un bloque compacto es integrable Riemann si y sólo si el conjunto de sus discontinuidades es de medida nula. Corolarios. Caracterización de conjuntos medibles Jordan: un conjunto acotado C es medible Jordan sii su frontera tiene contenido nulo. Una función continua definida en un conjunto medible Jordan es integrable Riemann.

Cuadragésima sexta clase, viernes 23 de noviembre.

Integrales impropias.

 




   
   

 

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