Cronograma 2010
Cronograma del curso de Cálculo Diferencial e Integral II (año 2010)
Primera clase (16 de agosto) Descripción del curso: programa, bibliografía, método de aprobación. Estructura vectorial de R^k. Conjuntos convexos.Estructura métrica de R^k: la norma euclideana. Noción general de norma; ejemplos.
Segunda clase (18 de agosto)
Ángulos en R^k: producto escalar. Productos internos y normas inducidas por productos internos. Desigualdad de Cauchy-Schwarz. La norma euclideana es una norma. Bolas abiertas, bolas cerradas. Ejemplos en R^k y otros espacios. Lo visto hoy es esencialmente la Sección 1.11 del Calculus II de Apostol.
Tercera clase (20 de agosto)
Métricas. Bolas abiertas y bolas cerradas. Conjuntos abiertos, conjuntos cerrados. Puntos interiores, puntos exteriores y puntos frontera. Frontera de un conjunto. Sucesiones. Sucesiones convergentes. Sucesiones de Cauchy. Las sucesiones convergentes son de Cauchy. En R toda sucesión de Cauchy es convergente.
Cuarta clase (23 de agosto)
Repaso de la semana anterior. La completitud de R en términos de sucesiones de Cauchy: si K es un cuerpo ordenado arquimediano en el que toda sucesión de Cauchy converge, entonces K es isomorfo a R.
Espacios completos. Toda sucesión de Cauchy, y por lo tanto toda sucesión convergente, es acotada.Subsucesiones. Puntos de aglomeración de una sucesión. Los puntos de aglomeración de una sucesión son exactamente los límites de sus subsucesiones convergentes.
Quinta clase (25 de agosto)
No hay, es feriado. Fecha patria, en conmemoración del día de la independencia de la Banda Oriental y la reincorporación a las demás provincias argentinas.
Sexta clase (27 de agosto)
Operaciones con sucesiones convergentes. Equivalencia entre las normas euclideana y del máximo en R^k; definen los mismos conjuntos abiertos. R^k es completo. Puntos de acumulación de un conjunto. Conjunto derivado. Adherencia de un conjunto. Un conjunto es cerrado sii contiene a todos sus puntos de acumulación. El punto x es de aglomeración de la sucesión (x_n) sii se satisface al menos una de las dos condiciones siguientes: (a) x_n=x para infinitos valores de n; (b) x es un punto de acumulación del conjunto {x_n: n>1}.
Séptima clase (30 de agosto)
Un punto x es de acumulación de un conjunto A sii existe una sucesión infinita (a_n) en A que converge a x; un punto x está en la clausura de A sii existe una sucesión (a_n) en A que converge a x. Teorema de Bolzano-Weierstrass: todo subconjunto de R^k infinito y acotado tiene un punto de acumulación en R^k. Un subconjunto F de R^k es cerrado y acotado sii toda sucesión en F tiene una subsucesión convergente a un punto de F.
Octava clase (1 de setiembre)
Teorema de Cantor. Cubrimientos abiertos y conjuntos compactos. Un subconjunto de R^k es compacto sii es cerrado y acotado.
Novena clase (3 de setiembre)
Límites de funciones. Límites en términos de sucesiones. Operaciones con límites. Funciones continuas. Ejemplo de una función discontinua que es continua en cada variable.
Décima clase (6 de setiembre)
Caracterización de la continuidad en términos de sucesiones. Continuidad de la función compuesta. Ejemplos. Una función f definida en D es continua sii la preimagen por f de todo abierto abierto es la intersección de D con un abierto; ídem para cerrados. Curvas y superficies de nivel.
Décima primera clase (8 de setiembre)
Funciones continuas en conjuntos compactos. Teorema de Weierstrass. Continuidad uniforme. Curvas. Conjuntos conexos por caminos. Conjuntos abiertos conexos. Funciones continuas en conjuntos conexos por caminos.
Décima segunda clase (10 de setiembre)
Definición de función diferenciable. El diferencial es único, y su valor en un vector coincide con la derivada de la función con respecto a ese vector.
Décima tercera clase (13 de setiembre)
Repaso de la definición de función diferenciable. Ejemplos. Una función continua no diferenciable cuyas derivadas con respecto a cualquier vector existen, y dependen linealmente del vector. Una función cuyas derivadas con respecto a cualquier vector existen y dependen linealmente del vector, pero que no es continua. Una función cuyas derivadas con respecto a cualquier vector existen pero no dependen linealmente del vector. Teorema del valor medio.
Décima cuarta clase (15 de setiembre)
Derivadas direccionales. Si todas las derivadas direccionales existen en todos los puntos y están uniformemente acotadas, entonces la función es lipschitziana. Corolario: si todas las derivadas direccionales de una función existen y se anulan, en un conjunto abierto conexo, entonces la función es constante en dicho abierto.
Décima quinta clase (17 de setiembre)
Regla de la cadena. Matriz jacobiana de un función diferenciable. Vector gradiente. En la dirección del gradiente está la mayor variación de la función.
Décima sexta clase (20 de setiembre)
No hay clase: día del estudiante.
Décima séptima clase (22 de setiembre)
Más ejemplos de cálculo con derivadas parciales y con matrices jacobianas. Espacios tangentes. Derivadas direccionales a lo largo de curvas. Conjuntos de nivel.
Décima octava clase (24 de setiembre)
Espacios tangentes a conjuntos de nivel. El gradiente es perpendicular a los conjuntos de nivel. Ejemplos. Aplicación: ecuaciones en derivadas parciales de primer orden, lineales y de coeficientes constantes. Una condiciçón suficiente de diferenciablidad: si en un punto a todas las derivadas parciales de f existen, y al menos todas menos una son continuas en un entorno de a, entonces la función es diferenciable en el punto.
Décima novena clase (27 de setiembre)
Continuidad y diferenciabilidad de derivadas con respecto a un vector. Derivadas parciales de orden superior. Funciones de clase C^k. Regla de Leibniz.
Vigésima clase (29 de setiembre)
Repaso para el parcial
Vigésima primera clase (1 de octubre)
Primer parcial.
Vigésima segunda clase (4 de octubre)
Teorema de Schwarz: si una función es dos veces diferenciable en un punto, entonces las derivadas mixtas no dependen del orden en el que son calculadas.
Vigésima tercera clase (6 de octubre)
Diferenciales de orden superior. Matriz Hessiana. Fórmula de Taylor. Series de Taylor. Ejemplos.
Vigésima cuarta clase (8 de octubre)
Funciones analíticas. Formas diferenciales de grado 1. Formas exactas y formas cerradas.
Vigésima quinta clase (11 de octubre)
No hay clase: Colón llegaría al Nuevo Mundo mañana, pero hace 518 años.
Vigésima sexta clase (13 de octubre)
Si f es diferenciable en un convexo K, entonces f es convexa sii f(x) es mayor o igual a f(a)+D_a(f).(x-a), para todos a,x en K. Formas bilineales y formas cuadráticas.
Vigésima séptima clase (15 de octubre)
Formas cuadráticas definidas positivas, semi-definidas positivas, etc. Métodos de clasificación de formas cuadráticas. El caso de formas cuadráticas definidas en R^2.
Vigésima octava clase (18 de octubre)
Caracterización de funciones convexas (cóncavas) a través de su matriz Hessiana.
Vigésima novena clase (20 de octubre)
Puntos críticos. Extremos de campos escalares. Clasificación de puntos críticos.
Trigésima clase (22 de octubre)
Teorema de la función inversa: comienzo.
Trigésima primera clase (25 de octubre)
Teorema de la función inversa: final.
Trigésima segunda clase (27 de octubre)
Comentarios, observaciones y algunas consecuencias del teorema de la función inversa. Un caso particular del teorema de la función implícita.
Trigésima tercera clase (29 de octubre)
Derivadas parciales generalizadas. Teorema de la función implícita. Una forma débil del teorema del rango. Ejemplos y aplicaciones.
Trigésima cuarta clase (1 de noviembre)
Variedades inmersas en R^n. Espacio tangente a una variedad en un punto: dos definiciones equivalentes.
Trigésima quinta clase (3 de noviembre)
Espacio normal a una variedad en un punto. Extremos condicionados: método de Lagrange.
Trigésima sexta clase (5 de noviembre)
Integración.
Particiones, refinamientos. Funciones escalonadas y operaciones con funciones escalonadas. Las funciones escalonadas forman un espacio vectorial. Integral de una función escalonada.
Trigésima séptima clase (8de noviembre)
Integral superior e integral superior. Funciones integrables en bloques según Riemann. Las funciones escalonadas son integrables Riemann. Las funciones continuas son integrables Riemann.
Trigésima octava clase (10 de noviembre)
Repaso. Las funciones integrables Riemann constituyen un espacio vectorial. Teorema del valor medio.
Trigésima novena clase (12 de noviembre)
Integrales iteradas. Teorema de Fubini. Ejemplos. Integrales en dominios contenidos en bloques compactos.
Cuadragésima clase (15 de noviembre)
Cambios de variables. Coordenadas polares, esféricas, cilíndricas.
Ejemplos varios de cálculo de integrales.
Cuadragésima primera clase (17 de noviembre)
Conjuntos de medida nula. Conjuntos de contenido nulo. Una unión numerable de conjuntos de medida nula es de medida nula. Un intervalo no trivial no tiene contenido nulo. Un conjunto compacto es de medida nula si y sólo si es de contenido nulo.
El gráfico de una función continua definida en un bloque compacto tiene contenido nulo.
Cuadragésima segunda clase (19 de noviembre)
Teorema de Lebesgue: una función definida en un bloque compacto es integrable Riemann si y sólo si el conjunto de sus discontinuidades es de medida nula. Corolarios. Caracterización de conjuntos medibles Jordan: un conjunto acotado C es medible Jordan sii su frontera tiene contenido nulo. Una función continua definida en un conjunto medible Jordan es integrable Riemann.
Cuadragésima tercera clase (22 de noviembre)
Integrales impropias.
Cuadragésima cuarta clase (24 de noviembre)
Repaso para el segundo parcial.
Cuadragésima quinta clase (26 de noviembre)
Segundo parcial.
Ángulos en R^k: producto escalar. Productos internos y normas inducidas por productos internos. Desigualdad de Cauchy-Schwarz. La norma euclideana es una norma. Bolas abiertas, bolas cerradas. Ejemplos en R^k y otros espacios. Lo visto hoy es esencialmente la Sección 1.11 del Calculus II de Apostol.
Tercera clase (20 de agosto)
Métricas. Bolas abiertas y bolas cerradas. Conjuntos abiertos, conjuntos cerrados. Puntos interiores, puntos exteriores y puntos frontera. Frontera de un conjunto. Sucesiones. Sucesiones convergentes. Sucesiones de Cauchy. Las sucesiones convergentes son de Cauchy. En R toda sucesión de Cauchy es convergente.
Cuarta clase (23 de agosto)
Repaso de la semana anterior. La completitud de R en términos de sucesiones de Cauchy: si K es un cuerpo ordenado arquimediano en el que toda sucesión de Cauchy converge, entonces K es isomorfo a R.
Espacios completos. Toda sucesión de Cauchy, y por lo tanto toda sucesión convergente, es acotada.Subsucesiones. Puntos de aglomeración de una sucesión. Los puntos de aglomeración de una sucesión son exactamente los límites de sus subsucesiones convergentes.
Quinta clase (25 de agosto)
No hay, es feriado. Fecha patria, en conmemoración del día de la independencia de la Banda Oriental y la reincorporación a las demás provincias argentinas.
Sexta clase (27 de agosto)
Operaciones con sucesiones convergentes. Equivalencia entre las normas euclideana y del máximo en R^k; definen los mismos conjuntos abiertos. R^k es completo. Puntos de acumulación de un conjunto. Conjunto derivado. Adherencia de un conjunto. Un conjunto es cerrado sii contiene a todos sus puntos de acumulación. El punto x es de aglomeración de la sucesión (x_n) sii se satisface al menos una de las dos condiciones siguientes: (a) x_n=x para infinitos valores de n; (b) x es un punto de acumulación del conjunto {x_n: n>1}.
Séptima clase (30 de agosto)
Un punto x es de acumulación de un conjunto A sii existe una sucesión infinita (a_n) en A que converge a x; un punto x está en la clausura de A sii existe una sucesión (a_n) en A que converge a x. Teorema de Bolzano-Weierstrass: todo subconjunto de R^k infinito y acotado tiene un punto de acumulación en R^k. Un subconjunto F de R^k es cerrado y acotado sii toda sucesión en F tiene una subsucesión convergente a un punto de F.
Octava clase (1 de setiembre)
Teorema de Cantor. Cubrimientos abiertos y conjuntos compactos. Un subconjunto de R^k es compacto sii es cerrado y acotado.
Novena clase (3 de setiembre)
Límites de funciones. Límites en términos de sucesiones. Operaciones con límites. Funciones continuas. Ejemplo de una función discontinua que es continua en cada variable.
Décima clase (6 de setiembre)
Caracterización de la continuidad en términos de sucesiones. Continuidad de la función compuesta. Ejemplos. Una función f definida en D es continua sii la preimagen por f de todo abierto abierto es la intersección de D con un abierto; ídem para cerrados. Curvas y superficies de nivel.
Décima primera clase (8 de setiembre)
Funciones continuas en conjuntos compactos. Teorema de Weierstrass. Continuidad uniforme. Curvas. Conjuntos conexos por caminos. Conjuntos abiertos conexos. Funciones continuas en conjuntos conexos por caminos.
Décima segunda clase (10 de setiembre)
Definición de función diferenciable. El diferencial es único, y su valor en un vector coincide con la derivada de la función con respecto a ese vector.
Décima tercera clase (13 de setiembre)
Repaso de la definición de función diferenciable. Ejemplos. Una función continua no diferenciable cuyas derivadas con respecto a cualquier vector existen, y dependen linealmente del vector. Una función cuyas derivadas con respecto a cualquier vector existen y dependen linealmente del vector, pero que no es continua. Una función cuyas derivadas con respecto a cualquier vector existen pero no dependen linealmente del vector. Teorema del valor medio.
Décima cuarta clase (15 de setiembre)
Derivadas direccionales. Si todas las derivadas direccionales existen en todos los puntos y están uniformemente acotadas, entonces la función es lipschitziana. Corolario: si todas las derivadas direccionales de una función existen y se anulan, en un conjunto abierto conexo, entonces la función es constante en dicho abierto.
Décima quinta clase (17 de setiembre)
Regla de la cadena. Matriz jacobiana de un función diferenciable. Vector gradiente. En la dirección del gradiente está la mayor variación de la función.
Décima sexta clase (20 de setiembre)
No hay clase: día del estudiante.
Décima séptima clase (22 de setiembre)
Más ejemplos de cálculo con derivadas parciales y con matrices jacobianas. Espacios tangentes. Derivadas direccionales a lo largo de curvas. Conjuntos de nivel.
Décima octava clase (24 de setiembre)
Espacios tangentes a conjuntos de nivel. El gradiente es perpendicular a los conjuntos de nivel. Ejemplos. Aplicación: ecuaciones en derivadas parciales de primer orden, lineales y de coeficientes constantes. Una condiciçón suficiente de diferenciablidad: si en un punto a todas las derivadas parciales de f existen, y al menos todas menos una son continuas en un entorno de a, entonces la función es diferenciable en el punto.
Décima novena clase (27 de setiembre)
Continuidad y diferenciabilidad de derivadas con respecto a un vector. Derivadas parciales de orden superior. Funciones de clase C^k. Regla de Leibniz.
Vigésima clase (29 de setiembre)
Repaso para el parcial
Vigésima primera clase (1 de octubre)
Primer parcial.
Vigésima segunda clase (4 de octubre)
Teorema de Schwarz: si una función es dos veces diferenciable en un punto, entonces las derivadas mixtas no dependen del orden en el que son calculadas.
Vigésima tercera clase (6 de octubre)
Diferenciales de orden superior. Matriz Hessiana. Fórmula de Taylor. Series de Taylor. Ejemplos.
Vigésima cuarta clase (8 de octubre)
Funciones analíticas. Formas diferenciales de grado 1. Formas exactas y formas cerradas.
Vigésima quinta clase (11 de octubre)
No hay clase: Colón llegaría al Nuevo Mundo mañana, pero hace 518 años.
Vigésima sexta clase (13 de octubre)
Si f es diferenciable en un convexo K, entonces f es convexa sii f(x) es mayor o igual a f(a)+D_a(f).(x-a), para todos a,x en K. Formas bilineales y formas cuadráticas.
Vigésima séptima clase (15 de octubre)
Formas cuadráticas definidas positivas, semi-definidas positivas, etc. Métodos de clasificación de formas cuadráticas. El caso de formas cuadráticas definidas en R^2.
Vigésima octava clase (18 de octubre)
Caracterización de funciones convexas (cóncavas) a través de su matriz Hessiana.
Vigésima novena clase (20 de octubre)
Puntos críticos. Extremos de campos escalares. Clasificación de puntos críticos.
Trigésima clase (22 de octubre)
Teorema de la función inversa: comienzo.
Trigésima primera clase (25 de octubre)
Teorema de la función inversa: final.
Trigésima segunda clase (27 de octubre)
Comentarios, observaciones y algunas consecuencias del teorema de la función inversa. Un caso particular del teorema de la función implícita.
Trigésima tercera clase (29 de octubre)
Derivadas parciales generalizadas. Teorema de la función implícita. Una forma débil del teorema del rango. Ejemplos y aplicaciones.
Trigésima cuarta clase (1 de noviembre)
Variedades inmersas en R^n. Espacio tangente a una variedad en un punto: dos definiciones equivalentes.
Trigésima quinta clase (3 de noviembre)
Espacio normal a una variedad en un punto. Extremos condicionados: método de Lagrange.
Trigésima sexta clase (5 de noviembre)
Integración.
Particiones, refinamientos. Funciones escalonadas y operaciones con funciones escalonadas. Las funciones escalonadas forman un espacio vectorial. Integral de una función escalonada.
Trigésima séptima clase (8de noviembre)
Integral superior e integral superior. Funciones integrables en bloques según Riemann. Las funciones escalonadas son integrables Riemann. Las funciones continuas son integrables Riemann.
Trigésima octava clase (10 de noviembre)
Repaso. Las funciones integrables Riemann constituyen un espacio vectorial. Teorema del valor medio.
Trigésima novena clase (12 de noviembre)
Integrales iteradas. Teorema de Fubini. Ejemplos. Integrales en dominios contenidos en bloques compactos.
Cuadragésima clase (15 de noviembre)
Cambios de variables. Coordenadas polares, esféricas, cilíndricas.
Ejemplos varios de cálculo de integrales.
Cuadragésima primera clase (17 de noviembre)
Conjuntos de medida nula. Conjuntos de contenido nulo. Una unión numerable de conjuntos de medida nula es de medida nula. Un intervalo no trivial no tiene contenido nulo. Un conjunto compacto es de medida nula si y sólo si es de contenido nulo.
El gráfico de una función continua definida en un bloque compacto tiene contenido nulo.
Cuadragésima segunda clase (19 de noviembre)
Teorema de Lebesgue: una función definida en un bloque compacto es integrable Riemann si y sólo si el conjunto de sus discontinuidades es de medida nula. Corolarios. Caracterización de conjuntos medibles Jordan: un conjunto acotado C es medible Jordan sii su frontera tiene contenido nulo. Una función continua definida en un conjunto medible Jordan es integrable Riemann.
Cuadragésima tercera clase (22 de noviembre)
Integrales impropias.
Cuadragésima cuarta clase (24 de noviembre)
Repaso para el segundo parcial.
Cuadragésima quinta clase (26 de noviembre)
Segundo parcial.
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